组合数学发展迅速，一方面得益于计算机科学的推动，另一方面也得益于与其他数学分支越来越密切的联系。此外，它在工程技术及其他自然科学学科和社会科学中也有广泛的应用。I.M.盖尔范德曾指出组合数学与几何学将是21世纪数学研究的前沿领域。在美国数学会“21世纪数学的挑战”大型研讨会上，“组合学中的代数方法”被列入纯数学中最具挑战性的方向之一。

组合数学最初起源于东方。中国古代的洛河图就是一个三阶幻方，即把从到这九个数按三行三列的队行排列，使得每行、每列，以及两条对角线上的三个数之和都是。《易经》上就记载有“河出图，洛出书，圣人则之”之说。在公元900年至公元1300年期间，中国学者和伊斯兰学者对幻方进行了深入研究。古代组合数学中另外一个基本的组合结构就是由二项式系数构成的三角形，即杨辉三角。南宋数学家杨辉在其1261年所著的《详解九章算法》一书中称这个三角形为“开方作法本源图”，并称“出释锁算书，贾宪用此术”。事实上，贾宪所用的三角形有别于杨辉三角，它需将杨辉三角顺时针旋转45度。贾宪于1050年左右首先使用贾宪三角进行高次开方运算。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303）中将“贾宪三角”扩充成“古法七乘方图”。西方又称杨辉三角为帕斯卡三角，B.帕斯卡关于帕斯卡三角的论著《Trait》也标志着近现代组合数学的开始。与帕斯卡同时期的G.W.莱布尼茨开创了组合数学的整数分拆、位置几何学（geometry of position）等多个方向。莱布尼茨在整数分拆研究方面有很多未发表的手稿，后来L.P.欧拉继续了这方面的研究。

帕斯卡和莱布尼茨注意到代数表达式乘积中项的展开与合并对应于枚举特定类型的组合对象，1697年A.棣莫弗进一步发展了这个思想，证明了多项式定理，用以确定展开式中各项的系数。此外，棣莫弗还发现了容斥原理，并用它于1718年证明了个对象的错排个数公式。

18世纪组合数学的代表人物是L.欧拉。他在图论、拉丁方和整数分拆等方面都做出了开创性的贡献。图论的发展起始于欧拉关于柯尼斯堡七桥问题的解答。他的论文完成于1736年，发表于1741年。作为图的概念的推广，拟阵是由H.惠特尼于1935年引入的，被用以抽象地描述线性无关性。拟阵研究方面著名的学者还有W.T.塔特、P.西蒙（Paul Seymour，英国，1950-07-26～　）等。

欧拉的36军官问题是现代组合设计理论的起源之一。组合设计理论的另一代表人物是T.P.柯克曼（Thomas Penyngton Kirkman，英国，1806-03-31～1895-02-03），他被认为是现代组合设计理论的奠基人，柯克曼女生问题就是以他的名字命名的。19世纪末，A.凯莱和J.J.西尔维斯特（J. J.Sylvester）也都在组合设计领域开展了研究，主要是柯克曼女生问题的变形和推广。1892年几何学家G.法诺（Gino Fano，意大利，1871-01-05～1952-11-08）将有限射影几何引入组合设计。1896年E.H.摩尔（Eliakim Hastings Moore，美国，1862-01-26～1932-12-30）将有限域引入组合设计。1983年中国学者陆家羲解决了施泰纳三元系（Steiner triple system）大集的存在性难题，1984年给出了可分解区组设计的渐近性存在结果。

19世纪末20世纪初，P.A.麦克马洪（Percy Alexander MacMahon，英国，1854-09-26～1929-12-25）的工作开创了分拆研究的新局面，他计数了的分拆个数。通过研究麦克马洪关于的表格，S.拉马努金还证明了一些同余关系。麦克马洪在1915年至1916年期间将整数分拆推广得到平面分拆。交错符号矩阵是组合数学中与平面分拆相关的一个组合结构，而关于交错符号矩阵的个数的猜想是组合数学中一个非常重要的猜想，后被D.才奥伯格（Doron Zeilberger，以色列，1950-07-02～　）于1992年证明。

与平面分拆非常相关的另外一个组合结构是杨表，它不仅在表示论中有重要的应用，而且在对称函数方面有重要的应用。杨表是由A.杨（Alfred Young，英国，1873-04-16～1940-12-15）于1901年左右引入的。著名的RSK算法建立了置换矩阵与标准杨表对之间的一个双射，由G.B.鲁宾逊（Gilbert de Beauregard Robinson，加拿大，1906-06-03～1992-04-08）于1938年提出的，后被C.E.申斯特德（Craige E Schensted，1927～　）于1961年重新发现。D.E.克努特（Donald Ervin Knuth，美国，1938-01-10～　）则将RSK算法从普通排列推广到广义置换上。

古典的组合数学往往只依赖于技巧，而近代组合数学产生了一些系统和深刻的方法。计数的系统方法起始于17世纪末，在此之前很多问题都是通过特殊方法解决的。其中，生成函数就是计数组合学中的一个重要工具。生成函数的使用需要对幂级数进行形式处理，18世纪的很多结果都通过这种形式的方法得以解决。这些技巧有些在今天仍被使用。幂级数运算中最重要的一个运算是对幂级数反演，其中拉格朗日反演公式是组合计数的一个基本工具。

容斥原理及默比乌斯反演是计数组合学的另一个重要工具。例如，经典的错排问题就可以利用容斥原理来解决，而容斥原理的本质是筛法。在数论中，利用筛法需要用到定义在正整数上的默比乌斯函数的概念。1935年左右，默比乌斯函数的概念独立地被L.韦斯纳（Louis Weisner，加拿大，生于1899年）、P.霍尔（Philip Hall，英国，1904-04-11～1982-12-30）和M.沃德推广到偏序集上。1964年左右，G.-C.罗塔（Gian-Carlo Rota，意大利，1932-04-27～1999-04-18）继续从事默比乌斯函数的研究，形成了现在应用广泛的默比乌斯反演理论。

在很多计数问题中，结构的等价性可以由对称群的作用来定义。这类计数问题的核心理论是轨道计数定理，有时又被称为伯恩赛德引理或柯西-弗罗贝尼乌斯引理。G.波利亚在20世纪30年代中期的一系列文章中，结合生成函数和轨道计数定理形成了一套自己的方法，用以计数各种图和化学团。

代数几何学同组合数学的联系越来越密切。利用希尔伯特概型几何的一些新结果，组合数学中著名的麦克唐纳多项式正性猜想、猜想和猜想得以解决，而关于曲线模空间的相交数猜想则为从组合角度研究模空间提供了新途径。

组合集合论在F.P.拉姆齐（Frank Plumpton Ramsey，英国，1903-02-22～1930-01-19）、P.爱尔特希（Paul Erdös，匈牙利，1913-03-26～1996-09-20）、R.拉多（Richard Rado，英国，1906-04-28～1989–12-23）和E.施佩纳（Emanuel Sperner，德国，1905-12-09～1980-01-31）等人的带领下迅猛发展。在组合集合论方面，最经典的当属鸽笼原理。1930年拉姆齐给出了拉姆齐定理。拉姆齐理论中经典的结果还包括1916年犹太数学家I.舒尔（Issai Schur，德国，1875-01-10～1941-01-10）关于正整数集合划分的舒尔定理、1927年B.L.范德瓦尔登（Bartel Leendert van der Waerden，荷兰，1903-02-02～1996-01-12）关于单色等差数列的范德瓦尔登定理和1943年R.拉多关于齐次线性方程组解的拉多定理等。1979年H.弗斯滕伯格（Hillel Furstenberg，以色列，1935-09-29）和B.韦斯（Benjamin Weiss，以色列，生于1941年）利用拓扑动力学理论统一地证明了舒尔定理、范德瓦尔登定理及其推广形式。

组合集合论中另外一个最有影响的结果是1935年P.霍尔给出的霍尔定理，又称婚姻定理。组合集合论的另一经典结果是1928年的施佩纳定理，它与狄尔华斯定理相关。在相交系的研究方面，极值集合论的一个里程碑式的结论是1964年证明的EKR定理。克鲁斯考-卡托纳定理是极值集合论中研究最广泛的定理之一。

在组合数论方面，由1936年的爱尔特希-图兰猜想E.塞迈雷迪给出了范德瓦尔登定理的推广，得到了塞迈雷迪定理。他的证明采用了组合方法，T.高尔斯在2001年利用傅里叶分析和组合数学给出了塞迈雷迪定理的另一个证明。此外，爱尔特希在子集合方面提出了爱尔特希-海尔布隆猜想，在零和问题方面得到了EGZ定理，并且在覆盖问题方面提出了不同模覆盖猜想，其中EGZ定理可由谢瓦莱-华林定理得到。

概率方法是由爱尔特希于1946年引入的，在图论中它主要用于研究存在性和随机图，早期随机图论研究的一个重要工具是L.洛瓦斯（L.Lovász）于1974年提出的洛瓦斯局部引理。洛瓦斯还开创了拓扑组合学的研究，其标志性工作是洛瓦斯1978年关于克内泽尔猜想的证明。概率方法的另一位代表人物是N.阿隆（Noga Alon，以色列，1956-02-17～　）。

G.-C.罗塔和他的学派对20世纪组合数学的发展也有着重要的影响，与以爱尔特希为首的匈牙利学派不同，罗塔学派侧重于计数组合学和代数组合学的研究。在超平面配置和子空间配置研究方面，H.H.克拉波和罗塔在1970年的文章中提出了利用有限域计算超平面特征多项式的思想。数学游戏中的“蛋糕分切问题”就是一个典型的超平面问题。利用偏序集的理论，任何一个超平面配置或子空间配置都可以定义一个特征多项式，而其性质则完全可以由特征多项式确定。罗塔还提出了一些具有挑战性的问题，如罗塔临界猜想、罗塔基猜想等。罗塔学派的另一突出代表人物R.P.斯坦利（Richard Peter Stanley，美国，1944-06-23～　）利用代数几何中的强莱夫谢茨定理给出了高维多面体-向量充分必要条件的刻画。

以M.-P.舒岑贝格尔（Marcel-Paul Schützenberger，法国，1920-10-24～1996-07-29）为首的法国组合学派大大推动了字的组合学研究，特别是在1983年《字的组合学》（Combinatorics on Words）一书出版之后。法国组合学派还建立了正交多项式的组合学理论。他们引入了诸如置换、树、匹配、划分、加权路等组合结构，给出了正交多项式系数的组合解释，并给出了正交多项式满足的恒等式的组合证明。当多项式含有参数时，一般将这些参数作为组合对象的某些加权。很多正交多项式已经找到了对应的组合结构，例如埃尔米特多项式、拉盖尔多项式、查理尔多项式、雅可比多项式，以及拉盖尔多项式等。

组合恒等式的机器证明是20世纪组合数学的一项重大进展。其思想是由M.C.菲森迈耶[M.C.Fasenmyer，她又被称为“赛琳修女”（Sister Celine）]1945年提出的，而奠基性的工作则是1978年R.W.高斯珀（Ralph William Gosper，美国，1943-04-26～　）给出的求解超几何项不定和的算法。1990年，D.才奥伯格以高斯珀算法为基础提出了一套证明组合恒等式的系统方法。同年，H.S.维尔弗（Herbert Saul Wilf，美国，1931-06-13～2012-01-07）和D.才奥伯格还提出了WZ方法，他们因此于1998年获得美国数学会斯蒂尔奖。经过机器证明理论的进一步发展，几乎所有的超几何类型恒等式都已能用计算机证明。

G.E.安德鲁斯（George Eyre Andrews，美国，1938-12-04～　）作为当代分拆理论的领袖人物对发展这个领域做出了巨大贡献，他在分拆理论、分拆恒等式、平面分拆、分拆函数的同余性质等方面都做出了深刻的研究并得到了一系列重要的结论，他的著作《分拆理论》（The Theory of Partitions）被公认为分拆理论的经典著作。