A.J.C.B.de圣维南（1855、1856）就已先后求解了等截面杆件的扭转和弯曲问题。J.H.米歇尔（1901、1905）分别解出了几种分布载荷下的弯曲问题和变截面柱体的扭转问题。L.普朗特（1903）、S.P.铁木辛柯（1913）利用引进应力函数的方法分别求解了以应力分量为基本未知量的柱体扭转和弯曲问题。在此类问题的求解中均利用圣维南原理，通过柱体截面二维域上定解的问题来求解距离端面足够远处由端面作用的扭矩或弯矩所引起的扭转或弯曲变形。

有两种半逆解法。一种是扭转翘曲函数法，假设截面在面内做整体转动（与材料力学中圆轴扭转问题的位移基本假设相同），对于非圆截面柱体假设同时发生离面的翘曲位移，其中为单位长度扭转角，称为扭转翘曲函数，它需要满足的平衡方程和边界条件是

式中分别为截面的二维域和它的边界线，为面内笛卡儿坐标，为边界线的弧长坐标。由此解得扭转翘曲函数，就可得到整个问题的解，其中相应的应力解仅有非零的应力分量和。

另一种半逆解法是扭转应力函数法，假设该问题中非零的应力分量用扭转应力函数（常称为普朗特应力函数）表示为

其求解方程，即用应力函数表示的变形协调方程和杆侧面为自由表面的边界条件为

式中为材料的剪切模量，为单位长度的扭转角，是沿杆横截面边界线切向的方向导数，换言之，沿杆横截面每条封闭边界线上的值为常数，对于单连通域或复连通域的外边界可取为零。由此可以求得截面抗扭模量为

式中设柱形杆横截面为连通域，为个孔洞各自所包围的面积，为每个孔洞边界处应力函数的值，由包围每个孔洞的封闭曲线的杆截面翘曲位移的单值性条件（即剪应力环量定理）决定。对于实心柱体，即

早年对于难以求得解析解的复杂截面形状曾用薄膜比拟的实验方法来求得问题的解，如今则可更方便地用数值方法求解。不过由薄膜比拟所得对于柱体自由扭转的一些直观认识仍有重要意义，如口薄壁杆件的截面抗扭模量近似等于组成该截面的各个薄矩形截面杆的截面抗扭模量之和；闭口薄壁杆件的截面抗扭模量远大于比将其截面开口得到的开口薄壁杆件的截面抗扭模量。将如此求得的截面抗扭模量引入材料力学，可将其中的圆轴扭转理论拓展到任意截面的柱形体自由扭转问题。

研究柱体在一个端面固定、另一端面作用沿截面一个惯性主轴方向的横向力所引起的弯曲变形，此问题也可用半逆解法求解。假设横截面内的应力分量均为零，柱形体轴向的正应力为

式中为柱形体的长度，为横截面对于轴的惯性矩。假设未知的两个剪应力分量为

式中称为弯曲应力函数，是由边界条件确定的函数。代入弹性力学基本方程所得求解弯曲应力函数的微分方程和边界条件为

式中为泊松比，为积分常数。如杆横截面关于轴对称而外力沿轴或者横截面无对称轴，但力作用于弯曲中心，。这样得到的弹性力学应力解比材料力学解更精确。

除去上述非圆截面柱形体的自由扭转问题之外，还有变截面圆轴的扭转问题，后者可以在子午面的二维域上定解。如果因支承条件或外载荷作用使柱形体沿轴线的扭矩并不保持不变，截面的翘曲将受到约束，因此截面上除剪应力外还产生正应力，伴随着扭转变形还可能产生弯曲变形，这是比自由扭转复杂的约束扭转问题。当柱体截面的弯曲中心和扭转中心不重合时，还产生弯曲和扭转的耦合效应。对于截面主轴沿轴线转动的扭曲杆，这种弯扭耦合效应更为显著。此外，如果因所受载荷和支承条件，使柱体扭转或弯曲的最大应力发生在其端部，基于圣维南原理的分析将不能准确计算端部的局部应力。若从强度评定考虑要准确计算端部的局部应力，则需要用数值方法，考虑端部的实际几何细节，和周边基座或相邻构件一起，整体进行三维分析。