直观地说，一个算法（algorithm）就是有限条规则或指令的集合，在给定的输入上应用这些规则，在有限步之内可以得到正确的输出。算法可以是确定的，即每步之后的下一步是唯一确定的；也可以是非确定的，即每步之后的下一步可以有多种选择；也可以是随机的，即按照一定的概率分布选择下一步。算法的每条规则或指令必须是能行的（effective），即可用有限的硬件在有限的时间和空间内实现。算法的严格定义由丘奇-图灵论题（Church-Turing Thesis）来界定，该论题说，一个问题有算法，当且仅当该问题可用处处停机的图灵机来计算，处处停机是指在所有输入上都在有限步之内停机，图灵机计算一个问题是指在所有输入上都给出正确答案。已知图灵机与λ-演算和广义递归函数都是等价的，因此都可以作为算法的数学模型。

算法的英文algorithm源于9世纪数学家花拉子米的名字Al-Khwarizmi，该名字的拉丁文为Algoritmi，后形成英文的algorism，最终变成algorithm一词。西方有记载的最早算法包括古希腊人埃拉托色尼（Eratosthenes）计算素数的筛法和欧几里得（Euclid）求最大公约数的辗转相除法等。近代对于算法概念的研究起源于希尔伯特第10问题和判定问题（Entscheidungsproblem）的研究。D.希尔伯特在1900年提出希尔伯特第10问题：是否存在机械过程判断整系数多项式方程是否有解？在1928年提出了判定问题：是否存在机械过程判断一阶逻辑公式永真？为了澄清什么叫机械过程，A.丘奇（Church）、K.哥德尔（Godel）、A.M.图灵（Turing）等人在20世纪30年代先后提出了λ-演算、广义递归函数、图灵机等计算模型，最终形成了丘奇-图灵论题，给出了算法的严格数学定义，并最终在20世纪30年代末期和20世纪70年代分别对判定问题和希尔伯特第10问题给出了否定回答。中文的算法一词来源于天文和数学专著《周髀算经》，算法在台湾地区被称为演算法。中国古代数学著作如《周髀算经》、《九章算术》等都含有大量算法，包括高次开方算法、解高次方程算法、辗转相除算法等。重视算法是中国古代数学的一大特征。

算法与计算复杂性密切相关。算法的时间复杂性是算法在输入上的运行步数，空间复杂性是算法所需存储空间的大小。人们在意识到多项式时间算法与指数时间算法的区别之后，把确定型多项式时间算法称为有效算法。能用有效算法解决的问题类记作多项式时间P类。另有一类问题，可用非确定型多项式时间算法解决，把这类问题记作非确定多项式时间NP类。NP类与P类是否相等的问题，就是P与NP问题，这是计算机科学和当代数学的核心问题之一，也是整个科学的核心问题之一。

从不同的角度出发，可以把算法划分为不同的大类，例如串行算法、并行算法、分布式算法、在线算法、精确算法、近似算法、参数算法、启发式算法、随机算法、量子算法、组合算法、代数算法、计算几何算法、推荐算法、拍卖算法，等等。