湍动的大气，奔腾的河流，被磁场约束的高温电离气体，大量原子聚集的固体都是典型的复杂系统。认真观察这些系统中的运动状态，除可看到急剧变化的形态外，还会发现与之共存的长时间的局部的规整结构。这些结构被称为相干结构。孤立子就是一种特殊的相干结构。造成这些结构存在的原因是非线性相互作用。

历史上最有名的孤立子是所谓浅水波孤立子，又称KdV方程孤立子。浅水波孤立子早在1834年就被英国工程师J.S.罗素观察到。他在运河行船的前头看到一个鼓出的孤立水峰，船停之后，水峰竟然保持原有形状以匀速沿运河移动了数千米后才消失。罗素将之称作“孤立波”，并认为它是流体方程的一个解。1895年两位荷兰数学家D.J.科特韦格与G.de弗里斯导出描述浅水单向运动的一维非线性偏微分方程即KdV方程：

…（1）

式中为任一点，任一时刻，水面偏离平衡面的高度。他们从方程中得出与罗素所描述的孤立波类似的解析解：

…（2）

式中为常数，代表波包整体运动速度。当时科学界为线性理论统治，解的叠加仍为解的概念根深蒂固，有人怀疑两个这样的孤立波叠加后其形状和特性会完全被破坏，认为这样的解“不稳定”、毫无物理意义，从而此一重要结果为后人淡忘。直到1965年，美国物理学家M.D.克鲁斯卡尔与N.J.扎布斯基用计算机模拟有名的FPU问题的连续极限的初边值问题时，发现了FPU问题的一类解可由KdV方程的解描述，而且KdV方程的孤立波解在相互作用后不改变各自的波形和速度，具有类似于粒子碰撞的性质，他们将这种孤立波命名为孤立子（见图）。图中表示两个KdV孤立子从左向右运动，二者振幅比为8∶2，从而传播速度比为2∶1，经过一段时间，快孤立子追赶上慢孤立子，碰撞后快者越过慢者，二者均保持原来的形状。图a～e显示了两个孤立子的碰撞过程。

两个KdV孤立子的碰撞图

KdV方程孤立子的发现，推动了非线性问题可积系统极端普遍方法的建立。

理论研究上最清楚的孤立子迄今都还是空间一维的。但实验室或自然界中的相干结构，如流体和等离子体中的涡旋、大气中的台风等，其维数明显高于一维。建立这些相干结构或高维孤立子的理论，从实验和理论上探索它们之间相互作用的规律，是当前相干结构和孤立子研究的重要课题。由孤立子研究而推动的可积系统数学理论研究，正在经典系统的可积性理论、非线性偏微分方程的精确求解方法等方向上深入。