并非所有不规则形状的几何体都是分形。图形整体与局部相似的性质称作自相似性，分形特指一类具有自相似对称性的几何对象。

自然界中事物通常都有自己的特征尺度。如原子的特征尺度是10^-10米，原子核结构的特征尺度是10^-14～10^-15米，而行星运行轨道的特征尺度则达到10¹¹～10¹²米。但也有例外，如海岸线。地理书上通常都给出各国海岸线长度的数据，而这些数据实际上与测量它的比例尺密切相关。小比例尺的地图上，海岸线上许多小的曲折被拉直，总长度显短。随着比例尺的放大，一批批海湾、半岛显露出来，测得的海岸线越来越长。这种无穷尽地放大比例尺（标度变换）的过程，即使是绘制1米²乃至1厘米²的地图，由沙石组成的海岸线仍是弯曲的，它与整个海岸线十分相似，表明海岸线实际上没有特征尺度（又称无标度性）。同时海岸线在标度变换下显示出几乎无限嵌套的局部与整体的相似性。这种像海岸线一样的无标度性，在标度变换下显示自相似性的几何形体自然界中还有许多，如闪电、云团、山峦、烟雾、湍流等。它们的共同特征是不规整、不光滑，但用不同尺度观察时却十分相似。

早在曼得布劳特提出分形概念之前，数学家就已构造出一批具有严格的无限嵌套自相似结构的几何形体，它们被称作规则分形或理想分形，又称确定性分形。最常见的有柯赫曲线、康托三分集、谢尔宾斯基镂垫和门杰海绵。这些几何体都是按照一定规则严格逐级构造的。图1的柯赫曲线的构造方法为：取一单位长直线段作为零级构造，将其三等分，舍去中间的一段，代之以底边在舍去一段上的等边三角形的另两边，形成一级构造。对一级构造的曲线中的每一段，实行前面的步骤，得到二级结构。以后仿此无穷重复。不难看出科赫曲线上任一级构造的每一条线段的内部结构均与整体相似。图2的康托三分集的构造方法是逐级把三分线段中间的部分去掉。先取一单位边长的等边三角形作为零级构造，将各边中点连接，形成四个小三角形，然后去掉中间一个，形成一级结构。之后对这些剩下的三角形做同样连接、分割和取舍操作，得到二级结构。逐次重复，最终形成具有各种大小空隙的等边三角形集合。这就是图3所示的谢尔宾斯基镂垫。这种嵌置于二维欧氏空间的形体的任何一个部分，都与整体严格相似。图4所给出的是嵌置于三维欧氏空间的一种规则分形体，因其具有酷似海绵的大小不同的空洞，称作门杰海绵。其构造规则为：取单位边长的正方形为零级结构，将立方体等分成27个小立方体，去掉位于立方体体心和六个表面中心的七个小立方体，形成一级结构。对余下的小正方体逐级做如上操作，便得到门杰海绵。以上各例分形都是按照等分原则逐级构造的，称作均匀规则分形。也可在构造过程中引入不等分规则，构造出不均匀规则分形。

图1 科赫曲线

康托三分集

图3 谢尔宾斯基镂垫

图4 门杰海绵

规则分形突出显示了分形的严格自相似特性和无限多层次精细结构的特点。如何定量描述这类形态几何对象的复杂性，传统的欧氏几何学则无能为力。因为欧氏几何学不能给出这些处处破碎的几何对象的维数。

维数是几何对象的重要特征量。它是确定几何对象中一个点的位置所需的独立坐标或独立方向的数目。平直欧氏空间中，直线、平面、立方体分别是一维、二维和三维的几何对象。对于更为抽象或复杂的几何对象，只要每个局部可与欧氏空间对应，也容易确定其维数。对这些几何对象进行拓扑变换，其维数也不变化，故称作拓扑维数，记为。

维数与测量有直接关系。用单位长度测量面积，结果是无穷大；用标准立方体测量没有体积的平面面积，结果为零。只有用标准方块测量面积，才会得出面积数。由此可见，用维的标准体测量某个几何对象，如果，结果为0；如果，结果是无穷大，只有与一致，才能得到有限值。

如果把维几何对象的每个独立方向都增加为原来的倍，结果得到个原来的对象。此3个数之间的关系为：。对这个关系式两边取对数，可写成。式中可是整数，也可是分数。式中定义的维数，称作分维或分形维数，记为。

根据分维定义可算出各种规则分形的维数：柯赫曲线，；康托三分集，；谢尔宾斯基镂垫，；门杰海绵，。

分形维数的定义对于规则分形十分适用，但分形不只是规则分形。对于像海岸线这样的分形体，其总长度的测量与测量尺的长短有关。为了测量得精确一些，只能缩小测量尺的单位。这样分维定义可改写成，式中为缩小比例尺的长度，为用缩小比例尺后的量度单元覆盖对象时给出的读数。这个定义来源于豪斯道夫对维数的定义。可以证明，拓扑维数与分形维数之间满足的关系，等式只对规整几何体适用。曼得布劳特最初对分形的定义，就是指使不等式严格成立的几何对象。

分形维数这一定义提示了一种测量方法。取边长为的小盒覆盖分形，数出不空小盒的数目。随着不断缩小，自然要增大。按照定义，在双对数图上的直线部分的斜率就给出了。这种数盒子的办法，经常用于自然界和实验上出现的无规分形维数的确定。这些分维定义和分维数测量方法虽可对分形做出一定定量刻画，但都具有局限性。为此又相继引入信息维数、关联维数、广义维数等维数定义和由实验数据重构相空间测量维数等方法，更精确地描述分形结构的复杂性。

自然界存在的几何对象，大多不能满足严格数学意义上的自相似，但有些在统计意义上具有自相似性，这种几何对象的任何局部放大后，却与其整体遵守同样的统计规律。最常见的有布朗运动和分形生长结构。

图5 布朗粒子的轨迹

①布朗运动。显微镜下观察液体中的一粒花粉的运动，会看到它的运动轨迹由各种尺度的折线连接而成。加大显微镜的分辨率，可发现原来以为是直线的部分是由大量尺度更小的折线连成，且具有自相似结构（图5）。这种运动的轨迹是一种分形体。严格计算证明，布朗粒子轨迹的分维数，是一个整数，满足曼得布劳特对分形的拓扑维小于分维的定义。

②分形生长结构。自然界有许多凝聚现象。如粉末状的金属原料被烧结成由大大小小聚集团形成的大块金属，每个聚集团的边界都是很复杂的分形；电化学反应中电极附近沉积的固态物质，以不规则的形状向外呈树枝状分形生长；受到污染的水流不断有颗粒或胶状物在水中植物的边缘附着，形成形状复杂的分形絮状物等。这些极不规整的几何形体，过去由于结构太复杂而难以研究。分形、分维概念提出后，借助计算机模拟手段，已出现不少描述聚集现象生成物的模型理论，最具代表性的是分形生长模型。其中之一是扩散置限聚集（DLA）模型。其要点是：在二维欧氏空间取一个方网格，网格中心放一粒种子，然后从网格边界释放粒子，令粒子在网格上随机行走，如粒子到达距种子所在格点最近的格点时即被粘住，并成为另一粒种子；如粒子在此之前到达方格边界，则令其消失。如此逐次释放粒子，最后所有的种子粒子形成一种树状聚集体，它具有统计意义下的自相似结构（图6）。计算机生成的这类分形体，与前述自然凝聚态物体形状十分相像。采用不同办法，可算出这种分形结构的分维数约为1.70。如果在三维欧氏空间取立方格子，按同样规则重复操作，可得到嵌置在三维空间的DLA分形。这种分形的。

图6 扩散置限聚集（DLA）模型生成的分形体

上面两种分形，其生长结构都是由随机因素控制的，不像数学上构造的规则分形在几何上严格自相似，被称为无规分形或随机分形。自然界存在的大量分形，都属于此类。此外，还有一些在构成方法上更为复杂或几何性质更为特殊的分形结构，如自仿射分形和多重分形。

分形研究已在自然科学和技术科学中广泛展开：大到银河系的星体分布，小到纳米颗粒聚集体；从多孔介质中的流体流动，到云彩边界的形状；从材料裂纹的生成，到植物枝条和叶片形态；从河川、山脉形貌，到岩石结构；从细菌群落，到人体血管、视网膜、神经系统的分布。欧氏几何过去难以处理的复杂几何结构，现已成为分形尝试研究的对象。研究对象对分形、分维的概念是否适用，必须判断研究对象是否存在无标度区。如一段海岸线，上限尺度是首末两端的连线，下限尺度可取形成海岸线的沙石的平均尺寸，二者之间如果有长达几个数量级的无标度区，方可作为分形看待。只有把握好这个原则，才可能得到有意义的结果。

分形和分维作为非线性科学研究的前沿领域，正从数学和物理两个方面进行深入探讨。数学研究的重点在于分形的维数理论和测度的分形理论两个方面。研究的内容主要是各种自相似集的性质和分类，各种分形维数的实质差异与关系，多重分形的测度分析等。物理研究方面，已在理想分形上的相变、临界动力学、分形上的动力学、动力学中的分形、多重分形和各类分形生长模型等方面做了大量工作，然而探索各种分形结构的形成机理及其效应仍是一大挑战。